李宜豐

使用「布雷克－休爾－莫頓模型」（Black-Scholes-Merton model)，計算不發放股利的股票之歐式選擇權價值。

布雷克－休爾－莫頓模型：

c = S₀ N(d₁) - Xe^-rT N(d₂)

p = Xe^-rT N(-d₂) - S₀ N(-d₁)

其中的：

d₁ = [ln(S₀ /X) + (r + σ²/2 )T] / σ(T^1/2)

d₂ = d₁ – σ(T^1/2)

該模型的邏輯如下：

先從c = S₀ N(d₁) - Xe^-rT N(d₂)談起。

r是風險中立的連續複利無風險報酬率，另外有一個R，是到期日(T)的股價連續複利報酬率期望值。

股價歐式買權(c)的價值，等於現在的股價(S₀)減去執行價格(X)的折現值(Xe^-rT)。但是股價是「二項式樹狀圖」(Binomial trees)與「幾何布朗運動」(Geometric Brownian motion)的隨機變動。

隨著二項式樹狀圖每期期限的縮短與期數的增加，期數增加至無限大，則該選擇權到期日(T)的股價會越趨近於對數常態分配，而股價的連續複利報酬率也會越趨近於常態分配。

若R是到期日(T)的股價連續複利報酬率期望值，則股價期望值(S_T)為：

S₀ e^{(R + (σ^2)/2 )T} = S_T

因為，若σ(T^1/2)為投資期的股價連續複利報酬率期望值之標準差，則對數常態分配的到期日股價期望值，所位於對數常態分配的橫軸之位置，相對於到期日常態分配的連續複利報酬率期望值還要往右移半個變異數的報酬率之位置。

若該買權要有價值，則到期日的股價期望值須超過執行價格，而有餘額：

S₀ e^{(R + (σ^2)/2 )T}– X

以連續複利報酬率，表示到期日的股價期望值為執行價格的本利和，則是對S₀ e^{(R + (σ^2)/2 )T}– X求取自然對數，得到：

ln(S₀ /X) + (R + σ²/2 )T

若：

d₁ = [ln(S₀ /X) + (R + σ²/2 )T] / σ(T^1/2)

則d₁為連續複利報酬率常態分配的橫軸位置上之一點。

N(d₁)即為發生該股價期望值的連續複利報酬率之累積常態分配機率。

若執行價格的累積常態分配機率為N(d₂)。若該買權要有價值，則d₂在連續複利報酬率常態分配的橫軸位置，應比d₁還要小一個標準差。

因此：

d₂ = d₁ – σ(T^1/2)

定價為風險中立，故以風險中立的連續複利無風險報酬率(r)，取代股價連續複利報酬率期望值(R)。

由於「買權與賣權平價關係」(put-call parity)適用於相同執行價格與相同到期日的歐式買權與賣權。

買權有價值的股價期望值對應之連續複利報酬率累積常態分配機率，賣權就不會有價值。買權有價值的執行價格對應之連續複利報酬率累積常態分配機率，賣權就不會有價值。

同理，賣權有價值的股價期望值對應之連續複利報酬率累積常態分配機率，買權就不會有價值。賣權有價值的執行價格對應之連續複利報酬率累積常態分配機率，買權就不會有價值。

因此：

p = Xe^-rT N(-d₂) - S₀ N(-d₁)