李宜豐

「清楚表達(explain)『常態分配』(normal distribution)與『對數常態分配』(lognormal distribution)的關係，及為何使用對數常態分配模擬資產價格的意義」。

上市公司股價從上市時的股價S₀，到T天期的股價S_T，最低可能跌到0元(例如破產或倒閉)，不可能跌到低於0元的負數股價。卻有可能最高漲到無限大的正數股價，而留下投資人無限的想像空間。

T天期股價隨機變數S_T的分配是最低為0的正數右偏分配。對數常態分配就是最低為0的正數右偏分配。因此對數常態分配即為股價隨機變數的最適合分配。無法使用標準常態分配的機率模型，模擬股價隨機變數的發生機率。

若先求出股價隨機變數的日連續複利報酬率：

ln(當天股價收盤價除以前一天的收盤價) = ln(1 + 持有期間(日)報酬率) = r

股價隨機變數的當天收盤價為平盤的日連續複利報酬率r = 0，當天收盤價上漲的日連續複利報酬率r =正數，當天收盤價下跌的日連續複利報酬率r =負數。

也就是日連續複利報酬率隨機變數的期望值為0，上漲與下跌的機率為對稱，就可以使用標準常態分配模擬股價日連續複利報酬率隨機變數。

T天期的股價函數是：

S_T = S₀e^xT

再若S₀ = 1元，T天 = 1天，則代入上述公式後，可得：

S_T = S₀e^xT = e^x

則對該S_T求取自然對數：

lnS_T = lne^x = x

其中的x是股價的日連續複利報酬率標準常態分配隨機變數。因為e^x的「自然對數」(natural lognormal, ln)是x，股價對數常態分配隨機變數的自然對數，也是股價日連續複利報酬率標準常態分配的隨機變數。

所以，若對一個隨機變數求取自然對數，所取得的新隨機變數為標準常態分配，則原有的隨機變數為對數常態分配。

股價對數常態分配的平均數與標準差，就可以使用所對應的股價日連續複利報酬率標準常態分配的平均數與標準差來表示。就可以使用標準常態分配的機率模型，推導出股價隨機變數的發生機率。

更精準的說法是：

股價是「二項式樹狀圖」(Binomial trees)與「幾何布朗運動」(Geometric Brownian motion)的隨機變動。隨著二項式樹狀圖每期期限的縮短與期數的增加，期數增加至無限大，則股價會越趨近於對數常態分配，而股價的連續複利報酬率也會越趨近於標準常態分配。

股價S_T是對數常態分配隨機變數，由S_T = S₀e^xT函數所產生。其中的x是股價的日連續複利報酬率常態分配隨機變數。因為e^x的「自然對數」(natural lognormal)ln是x，對數常態分配隨機變數的對數，也是股價的日連續複利報酬率標準常態分配。

1.對數常態分配向右偏，股價可上漲至無限大。

2.對數常態分配的低限為0，因此適合模擬沒有負值的股價。

如果我們使用標準常態分配，來作為股價的模型，會碰到小於-100%的報酬，也就是股價會有負值的機率。使用對數常態分配，來作為期末價格除以期初價格比率(price relatives)的模型，可避免此問題。

期末價格除以期初價格的比率(S₁/S₀)，等於(1 + 持有期間報酬)，我們只要將期末價格除以期初價格的比率乘上期初資產價格，就可求出期末資產價格。因為對數常態分配的最低值為0，期末資產價格不會小於0。

若期末價格0除以期初價格的比率對應於–100%的持有期間報酬率(亦即期末資產價格為0)，我們使用期末價格除以期初價格的比率作為股價上漲及下跌(乘數)的因子，以建立股價變動的二項式樹狀圖。

由於對數常態分配的股價日連續複利報酬率為標準常態分配。股價與股價日連續複利報酬率有一定的關係。因此股價對數常態分配隨機變數的平均數(μ_L)與標準差(σ_L)，可以使用股價日連續複利報酬率標準常態分配的平均數(μ)與標準差(σ)來表示：

對數常態分配隨機變數的平均數(μ_L) = e^{(μ + (σ^2)/2)}

對數常態分配隨機變數的標準差(σ_L) = [e^{(2μ + σ^2)} × e^{(σ^2 - 1)} ]^1/2

對數常態分配為右偏，故其平均數比標準常態分配的平均數，還要往右移。因此對數常態分配的股價平均數位置，相對於標準常態分配的股價日連續複利報酬率平均數位置，往右移相對半個股價日連續複利報酬率平均數變異數的位置。

標準常態分配的平均數μ = 0，因此若所對應的股價平均數不在分配上往右移，則S_T = S₀e⁰ = S₀。若要在股價分配上往右移，則應該移多少？

股價二項式隨機變動樹狀圖的每個節點到下一個節點的上漲與下跌幅度都是一個標準差，因此用半個變異數來表示往右移的位置恰到好處：

S_T = S₀e^{0+ (σ^2)/2}

σ^2為正數，因此：

S_T = S₀e^{0+ σ^2/2} > S₀

此表示股價平均數在股價的分配上比相對應報酬率在分配上的位置已經往右移。