李宜豐

給定「報價年利率」(stated annual interest rate)，與「每年複利期數」(frequency of compounding)，「使用數學運算計算(calculate)『有效年利率』(effective annual rate，EAR)」並「給定(interpret)有效年利率的意義」：

除了「連續複利」(continuous compounding)以外，每年複利期數(n)的有效年利率，都可使用下列公式，把報價年利率(r)轉換成有效年利率(EAR)：

(1 + r / n) ⁿ - 1 = EAR

同樣是6%的報價年利率：

每年複利期數1期(相當於每年複利)的有效年利率為：

(1 + 0.06 / 1)¹ - 1 = 0.06

每年複利期數2期(相當於每半年複利)的有效年利率為：

(1 + 0.06 / 2)² - 1 = 0.0609(金融業的慣例為小數點後四位數，所謂的一個「基點」(basis point，bp)，因此以下若有四捨五入，也只算到小數點後四位數)

每年複利期數4期(相當於每季複利)的有效年利率為：

(1 + 0.06 / 4)⁴ - 1 = 0.0614

每年複利期數12期(相當於每月複利)的有效年利率為：

(1 + 0.06 /12)¹² - 1 = 0.0617

每年複利期數365期(相當於每日複利)的有效年利率為：

(1 + 0.06 /365)³⁶⁵ - 1 = 0.0618

注意：有效年利率隨著每年的複利期數之增加而增加。

若把每年複利期數增加，增加到無限大(變成連續複利)，有效年利率是否也增加到無限大？

答：連續複利的有效年利率不會增加到無限大，只會增加到一個收斂極限值。

連續複利的報價年利率轉換成有效年利率，使用公式：

e ^r - 1 = EAR(有效年利率的收斂極限值)

例如6%的報價年利率連續複利有效年利率，即為e ^0.06 - 1 = 6.18%

雖然四捨五入到小數點第四位，每日複利與連續複利有相同的結果，但是連續複利應該比每日複利的有效年利率還大，因此以下說明會延伸到小數點後面第五位數。

為何使用公式e ^r - 1 = EAR，就可以把連續複利的報價年利率，轉換成有效年利率呢？

在數學上是以收斂極限值、二項式定理及無窮幾何級數求和公式的數學過程，得到e = 2.71828…的一個無理數。

對數學過程有興趣的學員，可參考「毛起來說e」天下遠見股份有限公司出版，2008年1月31日第一版第十次印行，第282頁-第285頁。

但是，17世紀初的商場慣例，已經使用連續複利的過程在計算利息。我們的老祖宗當初是如何想的？

當時的借款人向放款人借1塊錢，借1年時，放款人要承擔這1年，可能會損失1塊錢的風險。因此放款人要求借款人在1年後，還這1塊錢時，應另外多還1塊錢，以彌補放款人可能會損失1塊錢的風險。也就是報價年利率100%，每年複利期數1期(相當於每年複利)，到期的本利和為2塊錢：

(1 + 100% / 1)¹ = 2。

後來放款人碰到倒帳的損失後，覺得1年的風險太高，要求借款人在半年後，就應該先還款，利息也減半，因此半年後的本利和為1.5塊錢。若該借款人還了1.5塊錢後，再向該放款人借1.5塊錢，借半年，該半年期間的利息也是以50%計算，到期的本利和為2.25塊錢。也就是報價年利率100%，每年複利期數2期(相當於每半年複利)，到期的本利和為2.25塊錢：

(1 + 100% / 2)² = 2.25。

同理，報價年利率100%，每年複利期數4期(相當於每季複利)，到期的本利和為2.44141塊錢：

(1 + 100% / 4)⁴ = 2.44141。

報價年利率100%，每年複利期數12期(相當於每月複利)，到期的本利和為2.61304塊錢：

(1 + 100% / 12)¹² = 2.61304。

報價年利率100%，每年複利期數365期(相當於每日複利)，到期的本利和為2.71457塊錢：

(1 + 100% / 365)³⁶⁵ = 2.71457。

看起來，此本利和也是隨著每年的複利期數之增加而增加。

若把每年的複利期數增加至1,000、10,000、100,000、1,000,000、10,000,000、…，本利和也會增加至2.71692、2.71815、2.71827、2.71828、2.71828、…。報價年利率100%，每年連續複利的本利和會收斂至一個極限值：

e ¹ = 2.71828…。

因此，把連續複利的報價年利率，轉換成有效年利率就使用：

e ^r - 1 = EAR