李宜豐

利率的二項式樹狀圖，假設上漲與下跌機率都是1/2，這就是所謂的「真實機率」(true probabilities)或「實際世界機率」(real-world probabilities)。

另外有一個「風險中立機率」(risk-neutral probabilities)，就是使期望折現值等於市價的機率。例如，我們可以把考綱MR-12.3的例子之上漲與下跌機率，分別假設為p與(1 - p)，再求解p：

[$973.24p + $978.00(1- p)] / (1 + 0.05 / 2) = $950.42

∴p = 0.8024

換言之，在上漲與下跌的風險中立機率，分別為0.8024與0.1976下，期望折現值會等於市價。

同理，選擇權的價值，使用風險中立機率來計算，也會等於市價，如：

(0.8024 × $0 + 0.1976 × $3) / (1 + 0.05 / 2) = $0.58

在真實機率下，6個月後的利率期望值為：

0.5 × 5.50% + 0.5 × 4.5% = 5%

與現在的6個月期利率無位移。

而在風險中立機率下，6個月後的利率期望值為：

0.8024 × 5.50% + 0.1976 × 4.5% = 5.3024%

因此真實機率與風險中立機率的差異造成0.3024%的利率差異。此利率差異0.3024%即為利率位移。

以上內容係根據GARP協會官方版本教材，2015 FRM Part II Book 1 P.202考綱MR-12.6：解釋真實機率與風險中立機率的差別，並應用此差異，求出利率位移。(Distinguish between true and risk-neutral probabilities, and apply this difference to interest drift.)的內容。

如果只準備Schweser教材的考生，根據Schweser教材，2015 FRM Part II Book 1 P.132，為三個考綱MR-12.3，12.5及12.6的內容。主要內容著重在考綱MR-12.5風險中立定價，而對考綱MR-12.3與12.6較少著墨，其內容如下：

若我們假設債券價格變動的「真實機率」(true probabilities)，無論上漲與下跌都是50%的機率，則產生的折現值，可能不等於該債券的市價。為了使二項式樹狀圖的折現值等於市價，我們使用「風險中立機率」(risk-neutral probabilities)，再把風險中立機率與真實機率的差額稱為「利率位移」(interest rate drift)。

使用「二項式模型」(binomial model)的風險中立定價方式有下列兩種：

1.先使用由當前殖利率曲線所求出的即期利率與遠期利率，再調整樹狀圖路徑的利率，使得該模型求出的價值等於新發行債券的當前市價(創造該樹狀圖成「無套利」(arbitrage free))。使用此新發行債券的利率樹狀圖，定價該債券的衍生性金融商品。此時每個節點的期望折現值，就是使用真實機率計算出來的。

2.使用樹狀圖給定的利率，並調整機率以便模型求出的價值等於當前市價。使用此風險中立機率，定價該債券的衍生性金融商品。此時每個節點的期望折現值，就是使用風險中立機率計算出來的。

以上兩個方法算出來的衍生性金融商品價值都相同。

以上的SchweserNotes教材，只著重在考綱MR-12.5的風險中立定價。可見今年2015年11月21日的FRM Part II考綱MR-12.6，需閱讀GARP協會的官方版本教材，才看得懂考試所要考的內容。光準備SchweserNotes，不但不足以應付考試，而且會漏掉GARP協會官方版本教材，所要強調的內容。

今年2015年5月16日的FRM Part I與Part II考試，已經大幅出現GARP協會官方版本教材有，而SchweserNotes教材沒有的考題內容。CFA考試的這種趨勢也越來越明顯。CFA與FRM考生，不要只準備SchweserNotes教材，一定也要準備CFA協會與GARP協會的官方版本教材，才足以應付考試。