李宜豐

若市場上剛發行的6個月期與1年期國庫券價格分別為$975.61與$950.42，則我們可推算出6個月期與1年期即期利率及6個月後的6個月期遠期利率，分別為：

$100 / (1 + S_0.5 / 2) = $975.61

S_0.5 = 0.05

$100 / (1 + S₁ / 2)² = $950.42

S₁ = 0.0515

_0.5F_0.5 = 0.0515 × 2 - 0.05 = 0.053

根據二項式利率樹狀圖的假設：

第0期的利率：0.05

第1期的利率上漲機率：0.5(利率上漲至0.055)

第1期的利率下跌機率：0.5(利率下跌至0.045)

面額$1,000的6個月期國庫券之二項式價格樹狀圖為：

(為了容易閱讀起見，價格樹狀圖不包括金錢符號)

第0期的價格：975.61

第1期的價格上漲機率：0.5(價格上漲至1,000)

第1期的價格下跌機率：0.5(價格下跌至1,000)

$1,000 / (1 + 0.05 / 2) = $975.61

此$975.61等於市價$975.61，因為6個月期的即期利率，就是由6個月期國庫券的市價推算出來的。

面額$1,000的1年期國庫券之二項式價格樹狀圖為：

第0期的價格：951.82

第1期的價格上漲機率：0.5(價格上漲至973.24)

第1期的價格下跌機率：0.5(價格下跌至978.00)

第2期的價格上漲機率：0.5(價格上漲至1,000)

第2期的價格下跌機率：0.5(價格下跌至1,000)

使用利率樹狀圖的上漲或下跌機率，計算期望值的平均數，則1年期國庫券的6個月期之期望值為：

(1 / 2) × $973.24 + (1 / 2) × $978.00 = $975.62

將此期望值折現到零期，則根據6個月期即期利率，得到期望折現值為：

$975.62/(1 + 0.05 / 2) = $951.82

此$951.82並不等於市價$950.42。可見，投資人並不是以期望折現值來定價1年期國庫券。

因為1年期國庫券在未來的6個月，是一個有風險性的國庫券，有一半的機會值$973.24，另外一半的機會值$978.00，所以平均價或期望值是$975.62。若不喜歡價格不確定的投資人，偏好未來6個月的確定值$975.62，因此以6個月期即期利率折現到現在，就值$975.62/(1 + 0.05/2) = $951.82。

反之，投資人對6個月後平均價格$975.62的1年期國庫券之價格風險加以處罰，而在今天只值市價$950.42。

若市價$950.42與期望折現值計算出來的$951.82不相同，再加上若該1年期國庫券在6個月後的贖回價格為$975。

則根據期望折現值，計算出來的贖回權價值為：

第0期的價格：1.46

第1期的價格上漲機率：0.5(價格上漲至973.24 - 975 < 0)

第1期的價格下跌機率：0.5(價格下跌至978 - 975 = 3)

(0.5 × $0 + 0.5 × $3) / (1 + 0.05 / 2) = $1.46

若使用無套利二項式利率樹狀圖，定價該贖回權。

6個月後的6個月期國庫券到期，不管利率上漲或利率下跌都值面額。1年期國庫券在利率上漲時值$973.24，在利率下跌時值$978.00。

因此：

F^0.5 + 0.97324F¹ = $0

F^0.5 + 0.97800F¹ = $3

由這兩個聯立方程式求出：

F^0.5 = -$613.3866

F¹ = $630.2521

因此發行可在6個月後以$975贖回的1年期面額$1,000之國庫券。該國庫券的贖回權價值相當於下列的「複製投資組合」(replicating portfolio)的價值：

買進$630.2521面額的該1年期國庫券，同時發行$613.3866面額的6個月期國庫券。

因為該贖回權讓你有權利在6個月後，贖回還有6個月到期的國庫券。

由於現在1年期面額$1,000之國庫券值$950.42，6個月期面額$1,000之國庫券值$975.61，因此你現在共支付：

0.95042 × $630.2521  - 0.97561 × $613.3866 = $0.58

因此該選擇權的現在價格應為$0.58。

以上係根據GARP協會官方版本教材，2015 FRM Part II Book 1 P.200-202，考綱MR-12.3：解釋為何無法使用期望折現值，適當定價零息債券贖回權。(Explain why a call option on a zero-coupon security cannot be properly priced using expected discounted values.)的內容。

如果只準備Schweser教材的考生，根據Schweser教材，2015 FRM Part II Book 1 P.132，為三個考綱MR-12.3，12.5及12.6的內容。主要內容著重在考綱MR-12.5風險中立定價，而對考綱MR-12.3與12.6較少著墨，其內容如下：

若我們假設債券價格變動的「真實機率」(true probabilities)，無論上漲與下跌都是50%的機率，則產生的折現值，可能不等於該債券的市價。為了使二項式樹狀圖的折現值等於市價，我們使用「風險中立機率」(risk-neutral probabilities)，再把風險中立機率與真實機率的差額稱為「利率位移」(interest rate drift)。

使用「二項式模型」(binomial model)的風險中立定價方式有下列兩種：

1.先使用由當前殖利率曲線所求出的即期利率與遠期利率，再調整樹狀圖路徑的利率，使得該模型求出的價值等於新發行債券的當前市價(創造該樹狀圖成「無套利」(arbitrage free))。使用此新發行債券的利率樹狀圖，定價該債券的衍生性金融商品。此時每個節點的期望折現值，就是使用真實機率計算出來的。

2.使用樹狀圖給定的利率，並調整機率以便模型求出的價值等於當前市價。使用此風險中立機率，定價該債券的衍生性金融商品。此時每個節點的期望折現值，就是使用風險中立機率計算出來的。

以上兩個方法算出來的衍生性金融商品價值都相同。

以上的SchweserNotes教材，只著重在考綱MR-12.5的風險中立定價。

可見，今年2015年11月21日的FRM Part II考綱MR-12.3，需閱讀GARP協會的官方版本教材，才看得懂考試所要考的內容。光準備SchweserNotes，根本未提到詳細的相關內容。

今年2015年5月16日的FRM Part I與Part II考試，已經大幅出現GARP協會的官方版本教材有，而SchweserNotes教材沒有的考題內容。CFA考試的這種趨勢也越來越明顯。CFA與FRM考生，不要只準備SchweserNotes教材，一定要準備CFA協會與GARP協會的官方版本教材，才足以應付考試。